Question

（1）已知tanα=3，π＜α＜

3π

2

，求sin（

π

2

+α）+sin（π+α）的值
（2）证明：

1-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

1-tanx

1+tanx

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知tanα=3，π＜α＜

3π

2

，结合平方关系可求出cosa，sina，进而利用诱导公式可得sin(

π

2

+α)+sin(π+α)=cosa-sina，代入求出答案．
（2）利用平方关系，可将左边的分子化为完全平方公式，分母为平方差公式，展开约分后，利用弦化切思想，可证得结论．

解答： 解：（1）∵tanα=3，π＜α＜

3π

2

，
∴cosα=-

1 1+tan2α

=-

1 10

=-

10

10

，
sinα=-

1-cos2α

=-

3 10

10

，
∴sin(

π

2

+α)+sin(π+α)=cosa-sina=-

10

10

+

3 10

10

=

10

5

证明：（2）左边=

cos2x+sin2x-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

(cos x-sin x)2

(cos x-sin x)(cos x+sin x)

=

cos x-sin x

cos x+sin x

=

1-tanx

1+tanx

，
∴

1-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

1-tanx

1+tanx

．

点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，（1）的关键是熟练掌握平方关系，（2）的关键是熟练掌握平方关系和积商关系．