Question

如图，P-AD-C是直二面角，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=120°，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°．
（1）求证：CD⊥平面PAE；
（2）试问在线段AB（不包括端点）上是否存在一点F，使得二面角A-PF-E的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明CD⊥平面PAE；
（2）方法1：求出二面角的平面角，根据三角形的边角关系建立方程关系即可求出AF的长度，
方法2：利用向量法，建立空间之间坐标系，利用向量法建立条件关系即可求出AF的长．

解答： 证明：（1）∵P-AD-C是直二面角，平面PAD∩平面ABCD=AD又PA⊥AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵菱形ABCD中∠BAD=120°，∴∠ADC=60°AD=CD连接AC，
∴△ACD为正三角形，
又∵E为CD的中点，∴AE⊥CD又PA∩AE=A，PA，AE?平面PAE，
∴CD⊥平面PAD
（2）法一（几何法）：假设存在，
由（1）知AE⊥平面PAF，过点A作AG⊥PF，垂足为G
由三垂线定理知EG⊥PF…（8分）∴∠AGE为二面角A-PF-E的平面角为45°，
等腰Rt△AGF中AG=AE，等边△ACD中，AE=

3

Rt△PAF中，令AF=x∈（0，2），PF=

PA2+AF2

=

4+x2

，
由等面积法，PF•AG=PA•AF知AG=

2•x

4+x2

=AE=

3

，
解得x=2

3

∉(0，2)所以不存在这样点P，
法二（向量法）：由（1）知，PA，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
PA⊥平面ABCD知∠PAC为PC与平面ABCD所成角，
∴∠PCA=45°∴PA=AC=AB=2，
∴P(0，0，2)，A(0，0，0)，E(0，

3

，0)，
∴

PE

=(0，

3

，-2)
设AF=a（0＜a＜2）∴F（a，0，0）∴

PF

=(a，0，-2)，
设平面PFE的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
∴

m • PE =0 m • PF =0

，∴

3 y-2z=0 ax-2z=0

取x=1，则

m

=(1，

3 a

3

，

a

2

)
平面PAF的一个法向量

AE

=(0，

3

，0)，
∴|cos＜

m

，

AE

＞|=

m • AE

| m || AE |

=

| 3 2 (a-1)|

1+( a 2 )2+( 1-a 2 )2 3

=cos45°=

2

2

解得a=2

3

∉(0，2)
所以不存在这样点P．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判断，以及二面角大小的应用，利用定义法或者建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．