Question

已知函数f（x）=

x2+3ax+a 2-3，(x＜0) 2ex-(x-a)2+3，(x＞0)

，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）=-f（-x），求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）x＞0时，f'（x）=2e^x-2x+2a，y=f（x）在x=1处取得极值，f'（1）=0，从而a=1-e，此时，f'（x）=2e^x-2x+2-2e=2（e^x-e）-2（x-1），通过求导，找到单调区间，从而得到函数的极值，综合得出a 的值；
（2）先求出a=

ex

x

，再令h（x）=a，通过求导得出h（x）的单调区间，找到函数的最值，从而解决问题．

解答： 解：（1）x＞0时，f'（x）=2e^x-2x+2a，
∵y=f（x）在x=1处取得极值，f'（1）=0，
∴a=1-e，
此时，f'（x）=2e^x-2x+2-2e=2（e^x-e）-2（x-1），
f''（x）=2e^x-2=2（e^x-1）＞0，（x＞0），f'（x）在（0，+∞）递增，
又f'（1）=0，x∈（0，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．
f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
y=f（x）在x=1处取得极小值．符合题意
∴a=1-e．
（2）存在x∈（0，+∞），使得f（x）=-f（-x），
即2e^x-（x-a）²+3=-（x²-3ax+a²-3），
即存在x∈（0，+∞），使得a=

2ex

x

令h(x)=

2ex

x

，(x＞0)，
则h′(x)=

2ex(x-1)

x2

，(x＞0)，
h'（x）＞0时，x＞1；h'（x）＜0时，0＜x＜1；
h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
h（x）_min=h（1）=2e，
且x→0时（x＞0），h(x)=

2ex

x

→+∞；                   
∴只需a≥2e．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．