【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若点
在线段
上，且满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
(1) 连接
,
为正三角形，
，即
，又
，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由（1）知
，
，
两两垂直，因此以
为坐标原点，以，，
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量，然后利用线面角的向量公式计算即可.
（1）如图，连接.
由条件知四边形
为菱形，且
，
∴
，∴
为正三角形.
∵
为
的中点，∴.
又∵
，∴.
又∵
底面，
底面，∴.
∵
，∴
平面
.
（2）由（1）知，，两两垂直，因此以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则
，
，
，
，
.
∵
，∴
，
∴ 
.易知
.
设
为平面的一个法向量，则
由
得
取
，得
.
又∵
，
∴
，
故直线
与平面所成角的正弦值为.
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【题目】研究变量
，
得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数
来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程
中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量
平均增加0.2个单位
④若变量和之间的相关系数为
，则变量和之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数），直线与曲线相交于
两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若
,求
的值.
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【题目】某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：
甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；
乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间
的为
等，在区间
的为
等，在区间
的为
等，在区间
为
等.
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；
（2）估计哪所学校的市民的评分等级为
级或
级的概率大，说明理由.
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【题目】已知过原点
的两条互相垂直的直线与抛物线
相交于不同于原点的两点
，且
轴，
的面积为16.
（1）求抛物线
的标准方程；
（2）已知点
，
，
为抛物线上不同的三点，若
，试问：直线
是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于
两点，且设定点
，求
的值.
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【题目】已知椭圆
：
的一个焦点为
，点
在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
：
与椭圆相交于
，
两点，问
轴上是否存在点
，使得
是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
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