Question

【题目】已知函数．

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）当有两个极值点时，求a的取值范围，并证明的极大值大于2．

Answer 1

【答案】（1）为(0,＋∞)上的减函数．（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，法1:结合二次函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法2：令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，判断即可；（2）令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，求出函数的导数，根据函数的单调性得到h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），求出a的范围，求出f（x）的极大值判断即可．

（1）由题知．

方法1：由于，，，

又，所以，从而，

于是为(0,＋∞)上的减函数．

方法2：令，则，

当时，，为增函数；当时，，为减函数．

则．由于，所以，

于是为(0,＋∞)上的减函数．

（2）令，则，

当时，，为增函数；当时，， 为减函数．

当x趋近于时， 趋近于，

由于有两个极值点，所以有两不等实根，即有两不等实数根（）．

则有解得．可知，

又，则，

当 时，，单调递减；当 时，，单调递增；当 时，，单调递减．

则函数在时取极小值，在时取极大值．

即，

而，即，

所以极大值．当时，恒成立，

故为上的减函数，所以