Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．

（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；

（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．

（图1） （图2）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析。

【解析】

（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；

（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．

(1)由题设可以得到直线的斜率存在设方程为,

直线的方程为,

由,解得;由,解得

所以,直线与直线的交点

直线与直线的交点,所以.

当时, ,等号成立的条件是

当时, ,等号成立的条件是.

故线段长的最小值是2.

(2)法1:由题意可知,

的斜率为,∴直线的方程为,由得

则直线的方程为,令,则,即

∵直线的方程为,由解得

∴，

∴的斜率,

∴ (定值).

法2:设, ,

,

所以直线方程:

:直线方程,

则,得

而,得

,

则 （定值）。