Question

【题目】已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________

① 对任何，都有；② 函数的值域是；

③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条

件是“存在，使得”；

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确；利用题目中的条件求出n的值判断③正确；令3k≤a＜b≤3k+1，利用函数单调性的定义判断④正确。

对于①，对任意x∈[0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，

当x∈（1，3]时，f（x）=3-x；

所以f（3m）=f（33m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，①正确；

对于②，取x∈（3m，3m+1]，

从而函数f（x）的值域为[0，+∞），②正确；

对于③，x∈（1，3]时，f（x）=3-x，

对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，

所以

解得n=2，∴③正确；

对于④，令 则

所以

∴函数f（x）在区间（a，b））（3k，3k+1）上单调递减，④正确；

综上所述，正确结论的序号是①②③④．

故答案为：①②③④．