Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3，x≥0\\ ax+b，x＜0\end{array}$满足条件：对于[0，3]，?唯一的x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3
• D． $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3

Answer 1

分析 根据条件得到f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．

解答 解：若对于?x₁∈R，存在唯一的x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调，
则b=3，且a＜0，
由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），
即2a²+3=$\sqrt{9}$+3=3+3，
即a=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+3，
故选：D．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到a，b的关系是解决本题的关键．