Question

16．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\ sinπx，1＜x≤2\end{array}$，则f（$\frac{15}{2}$）+f（$\frac{20}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求的表达式，求解函数值即可．

解答 解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\ sinπx，1＜x≤2\end{array}$，
则f（$\frac{15}{2}$）+f（$\frac{20}{3}$）=f（16-$\frac{1}{2}$）+f（8-$\frac{4}{3}$）=f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{4}{3}$）=-f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）$-sin$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．