Question

已知函数, ,,、.
(Ⅰ)若，判断的奇偶性；
(Ⅱ) 若，是偶函数，求;
（Ⅲ）是否存在、，使得是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定与的关系式；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）是非奇非偶函数.（Ⅱ）；（Ⅲ）存在、满足时，是奇函数但不是偶函数.

试题分析：(Ⅰ) 方法一（定义法）：

.             2分
所以是非奇非偶函数.           3分
方法二（特殊值法）：由知不是奇函数.     1分
又由，知不是偶函数.     2分
所以是非奇非偶函数.    3分
(Ⅱ) 方法一（定义法）：，
偶函数，， 
 ，     5分
 ， .             6分                                
方法二（特殊值法）：为偶函数
所以
所以   5分
 ，，经验证满足题意.    6分
（Ⅲ）方法一:假设存在、，使得是奇函数.
由得，，所以.
由知，.
又，故或，
即或.  8分
当时，=+
=+=-=0，
此时既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去.    9分
当时，=+
=+=-=
此时是奇函数但不是偶函数.
综上，存在、满足时，是奇函数但不是偶函数.    10分
方法二:假设存在、，使得是奇函数.
由得，
化简整理得，,从而.下同方法一.
点评：(1)此题主要考查三角函数的奇偶性。判断一个函数奇偶性的步骤：一求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称；二判断。有时，若的关系不好判断时，可以根据定义域进行化简。(2) 若函数为偶函数，则；若函数为奇函数，则。