Question

已知函数 (＞0)的图象在点处的切线方程为.
(1)用表示；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)证明：1+++…+＞+.

Answer 1

（Ⅰ）  （II）     (Ⅲ)见解析

（1）求函数导数得，根据导数的几何意义得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。构造函数，利用，再讨论的取值范围研究的单调性使的最小值大于等于0可得的取值范围；
（3）由（2）知当时,有,  () 若,有。结合要证的结论，令，。分别把的值代入，得到个不等式依次相加得整理即得结论。本题是与自然数有关的问题也可用数学归纳法证明
（Ⅰ） ，则有，解得…3分
（II）由（Ⅰ）知，
令，
则，……4分
(ⅰ)当时,,
若,则,单调递减，所以即,
故在上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 当时,,
若,则,是增函数,所以
即,故当时,. …………8分
综上所述,所求的取值范围为…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,当时,有,  ()
令,有且当时, ……10分
令,有
即, …………12分
将上述个不等式依次相加得
整理得…………14分
解法二: 用数学归纳法证明
(1) 当时,左边,右边, 不等式成立.…………10分
(2) 假设时, 不等式成立, 就是

那么
由(Ⅱ)知,当时,有,  ()
令,有,  ()
令,有
所以
即
这就是说，当时, 不等式也成立。…………13分
根据(1)和(2)，可知不等式对任何都成立。