Question

16．已知A，B，C是球O的球面上三点，AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，且棱锥O-ABC的体积为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 10π
• B． 24π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 利用解三角形判断△ABC为直角三角形，得出截面圆的圆心，利用d²+r²=R²，求解R，判断球的表面积．

解答 解：∵AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
$\frac{2}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$，C＜60°，
sinC=$\frac{1}{2}$，C=30°，
∴∠A=90°，BC=$\sqrt{{2}^{2}+12}$=4
∵A，B，C是球O的球面上三点
∴截面圆的圆心为AC中点，
半径为2
∵棱锥O-ABC的体积为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×d$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，∴d=2$\sqrt{2}$，
∴R²=（2$\sqrt{2}$）²+2²=12，



∴球O的表面积为：4πR²=48π，
故选：D．

点评 本题综合考察了学生的空间思维能力，空间几何体性质，利用平面问题解决空间几何问题，属于中档题．