Question

【题目】如图，已知三棱柱 ，侧面 .
(Ⅰ)若 分别是 的中点，求证： ；
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱长均为2，侧棱 与底面 所成的角为 ，问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 ?若存在，求 与 的比值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：证明：(Ⅰ)连接AC1 ， BC1 ，
则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1 ，
因为AM＝MB，所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1 ，
所以MN∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)作B1O⊥BC于O点，连接AO，
因为平面BCC1B1⊥底面ABC，
所以B1O⊥平面ABC，

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0， ，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0， )．由 ＝ ＝ ，可求出A1(1， ， )，C1(2,0， )，
设点P(x，y，z)， ＝λ .
则P ，
＝ ，
＝(－1,0， )．
设平面B1CP的法向量为n1＝(x1 ， y1 ， z1)，
由
得
令z1＝1，解得n1＝ .
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝( ，1，－1)．
由平面B1CP⊥平面ACC1A1 ，
得n1·n2＝0，即3＋ －1＝0，
解得λ＝3，所以A1C＝3A1P，
从而C1P∶PA1＝2.
【解析】（1）连接AC1，利用三角形的中位线证明：MN∥BC1，然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）假设在线段A1C1上存在点P，通过求出平面B1CP的法向量，求出平面ACC1A1的法向量，通过向量垂直的条件建立方程．即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面的法向量(若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量)．