【题目】如图,已知三棱柱 ,侧面
.
(Ⅰ)若 分别是
的中点,求证:
;
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱长均为2,侧棱
与底面
所成的角为
,问在线段
上是否存在一点
,使得平面
?若存在,求
与
的比值,若不存在,说明理由.
【答案】解:证明:(Ⅰ)连接AC1 , BC1 ,
则AC1∩A1C=N,AN=NC1 ,
因为AM=MB,所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1 ,
所以MN∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)作B1O⊥BC于O点,连接AO,
因为平面BCC1B1⊥底面ABC,
所以B1O⊥平面ABC,
以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0, ,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),B1(0,0,
).由
=
=
,可求出A1(1,
,
),C1(2,0,
),
设点P(x,y,z), =λ
.
则P ,
=
,
=(-1,0,
).
设平面B1CP的法向量为n1=(x1 , y1 , z1),
由
得
令z1=1,解得n1= .
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2=( ,1,-1).
由平面B1CP⊥平面ACC1A1 ,
得n1·n2=0,即3+ -1=0,
解得λ=3,所以A1C
从而C1P∶PA1=2.
【解析】(1)连接AC1,利用三角形的中位线证明:MN∥BC1,然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可.
(2)假设在线段A1C1上存在点P,通过求出平面B1CP的法向量,求出平面ACC1A1的法向量,通过向量垂直的条件建立方程.即可得出结论.
【考点精析】认真审题,首先需要了解平面的法向量(若向量所在直线垂直于平面
,则称这个向量垂直于平面
,记作
,如果
,那么向量
叫做平面
的法向量).
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【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2.
(Ⅰ)证明:不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点;
(Ⅱ)以α为参数,求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程,并判断该轨迹的曲线类型.
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【题目】某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市岁的人群抽取一个容量为
的样本,并将样本数据分成五组:
,
,
,
,
,再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的比例 |
第1组 | |||
第2组 | |||
第3组 | |||
第4组 | |||
第5组 |
(1)分别求出,
的值;
(2)从第,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有
人获得幸运奖概率.
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【题目】已知函数f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果对于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若x∈[﹣ ,
],过点M(
,0)作函数f(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,过点
的直线
(
为参数)与曲线
相交于点
,
两点.
(1)求曲线 的平面直角坐标系方程和直线
的普通方程;
(2)求 的值.
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【题目】如图,四棱锥 中,底面
为梯形,
底面
,
.过
作一个平面
使得
平面
.
(1)求平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比;
(2)若平面 与平面
之间的距离为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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