Question

【题目】已知函数f（x）=ex（sinx+cosx）．
（1）如果对于任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若x∈[﹣ ， ]，过点M（ ，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ex（sinx+cosx），

可得g（x）=f（x）﹣kx﹣excosx=exsinx﹣kx，

要使任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，

只需当x∈[0， ]时，g（x）min≥0，g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），则h′（x）=2excosx≥0对x∈[0， ]时恒成立，

∴h（x）在x∈[0， ]上是增函数，则h（x）∈[1，e ]，

①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上为增函数，

∴g（x）min≥g（0）=0，∴k≤1满足题意；

②当1＜k＜e 时，g′（x）=0在x∈[0， ]上有实根x0，h（x）在x∈[0， ]上是增函数，

则当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合题意；

③当k≥e 时，g′（x）≤0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上为减函数，

∴g（x）＜g（0）=0不符合题意，

∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]

（2）解：函数f（x）=ex（sinx+cosx），

∴f′（x）=2excosx，

设切点坐标为（x0，ex0（sinx0+cosx0）），

则切线斜率为f′（x0）=2ex0cosx0，

从而切线方程为y﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（x﹣x0），

∴﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（ ﹣x0），

即tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），

这两个函数的图象关于点（ ，0）对称，

则它们交点的横坐标关于x= 对称，

从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{xn}的项也关于x= 成对出现，

又在[﹣ ， ]内共有1008对，每对和为π，

∴数列{xn}的所有项之和为1008π

【解析】（1）由题意可得任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，只需当x∈[0， ]时，g（x）min≥0，求出g′（x），令h（x）=ex（sinx+cosx），求出导数，可得h（x）的单调性，及值域，讨论k≤1时，1＜k＜e 时，当k≥e 时，由单调性确定最小值，即可得到所求k的范围；（2）求出f（x）的导数，设切点坐标为（x0 ， ex0（sinx0+cosx0）），可得切线的斜率和方程，代入M（ ，0），可得tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），这两个函数的图象关于点（ ，0）对称，即可得到所求数列{xn}的所有项之和．