【题目】过点P(2,0)的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,若抛物线的焦点为F,则△ABF面积的最小值为 .
【答案】2
【解析】解:方法一:抛物线y2=4x焦点F(1,0), 当直线l的斜率不存在时,此时将x=2代入抛物线C:y2=4x中,得y2=8,解得y=±2 ,
则点A,B的坐标为(2,2 ),(2,﹣2 ),
∴△ABF面积S= ×1×丨AB丨=2 ,
当直线的存在,且不为0,设直线AB:y=k(x﹣2).
A(x1 , y1),B(x2 , y2)(y1>0,y2<0),
联立 ,消去y,得k2x2﹣(4k2+4)x+4k2=0,且△=32k2+16>0,
则由韦达定理,x1+x2= ,x1x2=4,y1+y2= ,y1y2=﹣8,
∴△ABF面积S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× = × >2 ,
综上可知:则△ABF面积的最小值2 ,
所以答案是:2 .
方法二:抛物线y2=4x焦点F(1,0),
设直线AB:x=my+2,A(x1 , y1),B(x2 , y2)(y1>0,y2<0),
,整理得:y2﹣4my﹣8=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣8,
∴△ABF面积S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× ≥ ×4 =2 ,
当m=0时,取最小值,最小值为2 ,
∴△ABF面积的最小值2 ,
所以答案是:2 .
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【题目】已知函数f(x)= sin(x+ )﹣ cos(x+ ),若存在x1 , x2 , x3 , …,xn满足0≤x1<x2<x3<…<xn≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+… ,则n的最小值为( )
A.6
B.10
C.8
D.12
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【题目】某企业生产甲,乙两种产品均需用两种原料,已知生产1吨每种产品需用原料及每天原料的可用限额如下表所示,如果生产1吨甲,乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业可获得最大利润为__________万元.
甲 | 乙 | 原料限额 | |
A(吨) | 3 | 2 | 12 |
B(吨) | 1 | 2 | 8 |
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【题目】70年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数N,并且按照以下的规律进行变换:如果是个奇数,则下一步变成3N+1;如果是个偶数,则下一步变成 .不单单是学生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论N是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说,是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环,永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算,自然数27经过十步运算得到的数为( )
A.142
B.71
C.214
D.107
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【题目】某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市岁的人群抽取一个容量为的样本,并将样本数据分成五组:,,,,,再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的比例 |
第1组 | |||
第2组 | |||
第3组 | |||
第4组 | |||
第5组 |
(1)分别求出,的值;
(2)从第,,组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人,则第,,组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有人获得幸运奖概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求 · 的值;
(2)如果 · =-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
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【题目】已知函数f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果对于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若x∈[﹣ , ],过点M( ,0)作函数f(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和.
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【题目】已知圆过圆与直线的交点,且圆上任意一点关于直线 的对称点仍在圆上.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与轴正半轴的交点为,直线与圆交于两点(异于点),且点满足,,求直线的方程.
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【题目】下列四个命题:(1)已知向量 是空间的一组基底,则向量 也是空间的一组基底;(2) 在正方体 中,若点 在 内,且 ,则 的值为1;(3) 圆 上到直线 的距离等于1的点有2个;(4)方程 表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是.
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