【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,侧面AA1B1B为正方形,且AA1⊥平面ABC,D为线段AB上的一点.
(Ⅰ) 若BC1∥平面A1CD,确定D的位置,并说明理由;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)D为AB的中点,理由如下: 连接AC1 , 交A1C于点E,可知E为AC1的中点,连接DE,
因为BC1∥平面A1CD,
平面ABC1∩平面A1CD=DE,
所以BC1∥DE,
故D为AB的中点.
(Ⅱ)不妨设AB=2,分别取BC,B1C1的中点O,O1 , 连接AO,OO1 , 可知OB,OO1 , OA两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz.
知 ,
则 ,
,
设面A1CD的法向量m=(x,y,z),
由 得
令x=1,得A1CD的一个法向量为 ,
又平面BCC1的一个法向量n=(0,0,1),
设二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角为α,
则 .
即该二面角的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)D为AB的中点,理由如下:连接AC1 , 交A1C于点E,可知E为AC1的中点,连接DE,利用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出.(Ⅱ)不妨设AB=2,分别取BC,B1C1的中点O,O1 , 连接AO,OO1 , 可知OB,OO1 , OA两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz.利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得:平面A1CD的法向量 ,又平面BCC1的一个法向量
=(0,0,1),利用向量夹角公式即可得出.
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【题目】已知函数f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果对于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若x∈[﹣ ,
],过点M(
,0)作函数f(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a≠0时,过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线l1 , l2 , 已知两切线的斜率互为倒数,证明: <a<
;
(3)设h(x)=f(x+1)+g(x),当x≥0,h(x)≥1时,求实数a的取值范围.
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【题目】下列四个命题:(1)已知向量 是空间的一组基底,则向量
也是空间的一组基底;(2) 在正方体
中,若点
在
内,且
,则
的值为1;(3) 圆
上到直线
的距离等于1的点有2个;(4)方程
表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是.
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【题目】如图,四棱锥 中,底面
为梯形,
底面
,
.过
作一个平面
使得
平面
.
(1)求平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比;
(2)若平面 与平面
之间的距离为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某工厂生产某种产品,每生产1吨产品需人工费4万元,每天还需固定成本3万元.经过长期调查统计,每日的销售额(单位:万元)与日产量
(单位:吨)满足函数关系
,已知每天生产4吨时利润为7万元.
(1)求的值;
(2)当日产量为多少吨时,每天的利润最大,最大利润为多少?
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)试估计平均收益率;
(Ⅱ)根据经验,若每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量
(万份)与
(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据:
据此计算出的回归方程为.
(i)求参数的估计值;
(ii)若把回归方程当作
与
的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益.
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