Question

【题目】如图，四棱锥 中，底面 为梯形， 底面 ， .过 作一个平面 使得 平面 .

（1）求平面 将四棱锥 分成两部分几何体的体积之比；
（2）若平面 与平面 之间的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：记平面 与直线 .
因为 ，所以 .
由已知条件易知 ，又因 .
所以
可得
所以 .
即平面 将四棱锥 分成两部分几何体的体积之比为
（2）解：建立直角坐标系，记
则
因为平面 的法向量
设 得 ，
取 得平面 .
由条件易知点 到平面 距离 .即 .
所以.直线 与平面 所成角 满足
【解析】（Ⅰ）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值．
（Ⅱ）建立直角坐标系，通过做出直线 P A 与平面 P B C 所成角,求出相关的量，进一步求得结果．
【考点精析】关于本题考查的用空间向量求直线与平面的夹角，需要了解设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：才能得出正确答案．