【题目】如图,直四棱柱 的所有棱长均为2,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若 ,求平面
与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】解:(Ⅰ)连结 交
于
,取
中点
,连结
.
因为 ,所以
是平行四边形,故
.
又 是
的中位线,故
,所以
,
所以四边形 为平行四边形.
所以 ,所以
,
又 平面
,
平面
,
所以 平面
.
(Ⅱ)以 为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,
则 ,
,
,
,
,
设平面 的法向量
,
则 ,即
,
解得 ,
令 ,得
,
显然平面 的一个法向量
,
所以 ,
所以平面 与平面
所成锐二面角的大小为45°
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,连结AC交BD于O,取BD1 的中点F,由已知可得ACC1A1是平行四边形,故A1C1∥AC.再由三角形中位线定理可得四边形OCEF为平行四边形.得到A1C1∥EF,由线面平行的判定可得结论;
(Ⅱ)建立适当的空间直角坐标系O-xyz,由已知求得点的坐标,求出平面BED1的法向量与平面ABCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,过点
的直线
(
为参数)与曲线
相交于点
,
两点.
(1)求曲线 的平面直角坐标系方程和直线
的普通方程;
(2)求 的值.
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【题目】如图,四棱锥 中,底面
为梯形,
底面
,
.过
作一个平面
使得
平面
.
(1)求平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比;
(2)若平面 与平面
之间的距离为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家 和3个欧洲国家
中选择2个国家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括 但不包括
的概率.
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【题目】某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况,随机抽取了高一、高二各人,对他们的学习时间进行了统计,分别得到了高一学生学习时间(单位:小时)的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图.
高一学生学习时间的频数分布表(学习时间均在区间内):
学习时间 | ||||||
频数 | 3 | 1 | 8 | 4 | 2 | 2 |
高二学生学习时间的频率分布直方图:
(1)求高二学生学习时间的频率分布直方图中的值,并根据此频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数;
(2)利用分层抽样的方法,从高一学生学习时间在,
的两组里随机抽取
人,再从这
人中随机抽取
人,求学习时间在
这一组中至少有
人被抽中的概率.
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