【题目】已知函数 ,
,其中
.
(1)当 时,求函数
的单调递减区间;
(2)若对任意的 ,
(
为自然对数的底数)都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)解:当 时,
解得
或
,
则函数 的单调递减区间为
,
(2)解:对任意的 都有
成立等价于在定义域
内有
.
当 时,
.
∴函数 在
上是增函数.
∴ .
∵ ,且
,
.
①当 且
时,
,(仅在
且
时取等号)
∴函数 在
上是增函数,
∴ .
由 ,得
,
又 ,∴
不合题意.
②当 时,
若 ,则
,
若 ,则
.
∴函数 在
上是减函数,在
上是增函数.
∴ . 由
,得
,
又 ,∴
.
③当 且
时,
,(仅在
且
时取等号)
∴函数 在
上是减函数.
∴ .
由 ,得
,
又 ,∴
.
综上所述:
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)问题等价于在定义域[1,e]内有f(x)min≥g(x)max , 通过讨论a的范围分别求出f(x),g(x)的最值,求出a的范围即可.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式: ,.
参考数据: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),直线C2的方程为y=
,以O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求 +
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2015年一交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数,得到如下表所示的数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测在2016年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到110时,可能发生的交通事故次数.
(附:,
,其中
为样本平均值)
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