【题目】已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时,证明:
对于任意的
成立.
【答案】
(1)解: 的定义域为
;
.
当 ,
时,
,
单调递增;
,
单调递减.当
时,
.
① ,
,
当 或
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减;
②a=2时, ,在
内,
,
单调递增;
③ 时,
,
当 或
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减.
综上所述,
当 时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减;
当 时,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当 时,
在
内单调递增;
当 ,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(2)解:由(Ⅰ)知,a=1时, ,
,
令 ,
.
则 ,
由 可得
,当且仅当x=1时取得等号.
又 ,
设 ,则
在
单调递减,因为
,
所以在 上存在
使得
时,
时,
,
所以函数 在
上单调递增;在
上单调递减,
由于 ,因此
,当且仅当x=2取得等号,
所以 ,
即 对于任意的
恒成立
【解析】(1)主要考查利用导数讨论函数的单调性问题,根据已知条件先求符合函数的导数, , 再根据导数的性质对参数a进行分类讨论,利用导数的性质判读函数的单调性。(2)主要考查利用导数求解函数的最值问题,所以首先要对函数进行变形,把不等式转化为
对于任意的
恒成立,也就是不等式左边的新函数的最小值大于
即可,所以关键就是求函数的最小值的问题,因此要构造新函数
,
, 分别求函数的最小值和最大值,进而求出函数
的最小值即可得到结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件,商场以高于成本价的价格(标价)出售. 问:
(1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?
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【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2.
(Ⅰ)证明:不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点;
(Ⅱ)以α为参数,求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程,并判断该轨迹的曲线类型.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|,a∈R.
(Ⅰ)若不等式f(x)≥2﹣|x﹣1|恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,直线y=m与函数f(x)的图象围成三角形,求m的最大值及此时围成的三角形的面积.
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【题目】某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市岁的人群抽取一个容量为
的样本,并将样本数据分成五组:
,
,
,
,
,再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的比例 |
第1组 | |||
第2组 | |||
第3组 | |||
第4组 | |||
第5组 |
(1)分别求出,
的值;
(2)从第,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有
人获得幸运奖概率.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,过点
的直线
(
为参数)与曲线
相交于点
,
两点.
(1)求曲线 的平面直角坐标系方程和直线
的普通方程;
(2)求 的值.
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