Question

【题目】如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形，且直线 又棱 为 的中点，
(Ⅰ) 求证：直线 ；
(Ⅱ) 求直线 与平面 的正切值.

Answer 1

【答案】解：证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2∴△AED是以∠AED为直角的Rt△
又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,
∴EA⊥平面PAB,
（Ⅱ）

如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点
∵CD⊥EA, CD⊥PA
∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE
∴AH⊥平面PCD
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=
∴
【解析】（1）只需证明直线EA⊥AB，且EA⊥PA即可；
（2）先证明AH⊥平面PCD，得出∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，在Rt△PAE中计算tan∠AEP的值．