Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，4）
B.（4，+∞）
C.（﹣∞，2）
D.（2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（x）=ax﹣x2﹣lnx，x∈（0，+∞）， 则f′（x）=a﹣2x﹣ =﹣ ，
∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a2﹣8≥0，
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
∴方程必有两个不等正根，记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1 ， x2 ， x1+x2= ，x1x2= ，
f（x1），f（x2）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）
= ﹣ +1﹣ln ＞5﹣ln ，
化简解得，a2＞16，满足△＞0，
又x1+x2= ＞0，即a＞0，
∴∴a的取值范围是（4，+∞），
故选：B．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．