Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2﹣|x﹣1|恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，直线y=m与函数f（x）的图象围成三角形，求m的最大值及此时围成的三角形的面积．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）≥2﹣|x﹣1|恒成立，即|x﹣ |+|x﹣1|≥1恒成立， 又|x﹣ |+|x﹣1|≥|x﹣ ﹣（x﹣1）|=|1﹣ |，
∴|1﹣ |≥1，解得a≤0或a≥4．
∴a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
（II）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣1|= ，
做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当 ＜m≤1时，直线y=m与f（x）的图象构成三角形．
∴m的最大值为1，
令2﹣3x=1得x= ，此时围成三角形的面积为 （1﹣ ）×（1﹣ ）=
【解析】（I）利用绝对值三角不等式得出|x﹣ |+|x﹣1|的最小值，从而解出a的范围；（II）做出f（x）的函数图象，根据函数图象得出m的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．