Question

【题目】如图，在四棱锥 中， 、 、 均为等边三角形， .

（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)因为 ， ， 为公共边，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，且 为 中点.
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，结合 ，
可得 ，
所以 ，
即 ，又 ，
故 平面 ，又 平面 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
(Ⅱ)以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，

不妨设 ，易得 ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
，即 ，解得 ，
令 得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
所以 与平面 所成角的正弦值为
【解析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，由△ABD和△CBD相似，可得∠ABD=∠CBD，AC⊥BD，即可得PO⊥AC，即PO⊥OB，又PO⊥BD．最后利用线面垂直的判定即可证得结论．
（Ⅱ）根据题意，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面PBC的法向量，利用向量夹角公式求解即可．