Question

【题目】如图，圆的直径，为圆周上不与点重合的点，垂直于圆所在的平面，．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）结合线面垂直的性质得出线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出线线垂直即可．

（2）建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标以及向量的坐标，找到平面的一个法向量，利用向量垂直的性质再结合向量的数量积运算公式求出两个法向量的夹角的余弦值即可得出两个平面所成的角的余弦值．

解：（1）如图，连结，

因为平面，所以．

又因为在圆周上，所以．

又因为平面， 平面，

故平面．

又平面．

故．

（2）因为，所以可以以，为轴建立如图直角坐标系

则，，，

，．

平面的一个法向量．

设平面的一个法向量．

则，，得，

取，得．

故．