Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx，x∈[

π

2

， π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，代入到函数解析式，利用两角和公式展开后求得答案．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用x的范围和正弦函数的单调性求得函数的值域．

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]
∴cosx=-

1- 16 25

=-

3

5

∴f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=

3

sinx+cosx-2cosx=

3

sinx-cosx=

4

5

×

3

+

3

5

=

4 3 +3

5

（2）f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=

3

sinx+cosx-2cosx=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

）
∵x∈[

π

2

， π]
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

∴

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1
∴f（x）的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]

点评：本题主要考查了三角函数化简求值，两角和公式的化简，同角三角函数的基本关系的应用．解题时注意角的范围，判断三角函数的正负．