Question

【题目】已知数列f（x1），f（x2），…f（xn），…是公差为2的等差数列，且x1=a2其中函数f（x）=logax（a为常数且a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）若an=logaxn ， 求证 + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵f（x1）= =2，公差d=2．∴f（xn）=2+2（n﹣1）=2n，
∴logaxn=2n，解得xn=a2n ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得：an=logaxn=2n，
∴ = = = ﹣ ．
∴ + +…+ = +…+ =1﹣ ＜1
【解析】（Ⅰ）由已知可得f（x1）= =2，利用等差数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：an=2n，可得 = ﹣ ．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．