Question

【题目】设函数f（x）=ln（x+a）+x2
（1）若当x=﹣1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

依题意有f'（﹣1）=0，故 ．

从而 ．

f（x）的定义域为 ，当 时，f'（x）＞0；

当 时，f'（x）＜0；

当 时，f'（x）＞0．

从而，f（x）分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．

（2）解：f（x）的定义域为（﹣a，+∞）， ．

方程2x2+2ax+1=0的判别式△=4a2﹣8．

（ⅰ）若△＜0，即 ，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，故f（x）无极值．

（ⅱ）若△=0，则a= 或 ．

若 ， ，f′（x）= ．

当 时，f'（x）=0，

当 时，f'（x）＞0，所以f（x）无极值．

若 ， ， ，f（x）也无极值．

（ⅲ）若△＞0，即 或 ，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根 ， ．

当 时，x1＜﹣a，x2＜﹣a，从而f'（x）在f（x）的定义域内没有零点，

故f（x）无极值．

当 时，x1＞﹣a，x2＞﹣a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，

由根值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值．

综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为 ．

由于x1+x2=﹣a，x1x2= ，

则f（x）的极值之和为

【解析】（1）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′（﹣1）=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（2）由题意可得在区间（﹣a，+∞）上，f′（x）=0有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△=4a2﹣8，求a的取值范围，结合a的取值，把极值点代入函数f（x）可得，
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．