Question

已知数列{a_n}是单调递增的等差数列，a₁，a₅是方程的x²-8x+12=0的两根，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=2n•an，求{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用一元二次方程的解法、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是单调递增的等差数列，a₁，a₅是方程的x²-8x+12=0的两根，
∴a₁=2，a₅=6．
设公差为d，则2+4d=6，解得d=1．
∴a_n=n+1．
（2）bn=2n•an=（n+1）•2ⁿ．
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，
2S_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，
错位相减得-S_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+

2(2n-1)

2-1

-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．