Question

设数列{a_n}的前n项个为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）写出a₁，a₂的值，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，…），b₁=1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．利用a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1及其等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“累加求和”的等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．
∴a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
取n=2时，a₁+a₂=2a₂-2，∴a₂=2+2=4．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-[2a_n-1-2]，化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（II）∵数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，…），b₁=1，
∴b_n+1-b_n=a_n=2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1
=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．

点评：本题考查了“累加求和”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．