Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=

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AA₁，D是棱AA₁的中点，求二面角A₁-BD-C₁的大小（用空间向量法）．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-C₁的大小．

解答： 解：设AC=BC=

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2

AA₁=1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），
C₁（0，0，2），

BC1

=（0，-1，2），

BD

=（1，-1，1），

BA1

=（1，-1，2），
设平面A₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA1 =x-y+2z=0 n • BD =x-y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，0），
设平面C₁BD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BC1 =-b+2c=0 m • BD =a-b+c=0

，
取c=1，得

m

=（1，2，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1+2+0

2 × 6

=

3

2

，
∴＜

m

，

n

＞=30°，
∴二面角A₁-BD-C₁的大小为30°．

点评：本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．