Question

已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2）．
（1）若

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，求点D的坐标；
（2）问是否存在实数α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）设D（x，y，z），由于

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，利用向量共线定理可得存在实数λ，μ使得

DB

=λ

AC

，

DC

=μ

AB

．解出即可．
（2）假设存在实数α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．则（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），利用向量运算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）设D（x，y，z），
∵

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，
∴存在实数λ，μ使得

DB

=λ

AC

，

DC

=μ

AB

．
∴

-x=-λ 1-y=0 -z=2λ

，

-x=-μ -y=μ 2-z=0

，
解得x=-1，y=1，z=2．
∴D（-1，1，2）．
（2）假设存在实数α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．
则（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），
∴

-α=-1 α-β=0 2β=2

，
解得α=β=1，
因此存在实数α=β=1，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．

点评：本题考查了向量共线定理、向量运算及其相等，考查了计算能力，属于基础题．