Question

设函数f（x）=log_a

x-2a

x+2a

（a＞0，a≠1）
（1）若a=2，求f（x）的定义域和值域；
（2）若函数的定义域为[s，t]，则函数的值域为[log_a（t-a），log_a（s-a）]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过对数的定义得到x满足的关系式，解不等式得到函数定义域，通过对内函数的研究得到其取值范围，再利用外函数单调性，得到函数的值域，得到本题结论；
（2）通过对内函数、外函数的研究，将问题转化为一元二次方程的根的存在性问题，对所得到二次函数图象的研究，得到a满足的关系式，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：（1）当a=2时，
函数f（x）=log_a

x-2a

x+2a

=log₂

x-4

x+4

，
∴

x-4

x+4

＞0，
∴（x-4）（x+4）＞0，
∴x＜-4或x＞4．
∵

x-4

x+4

=1+

-8

x+4

≠0，
∴log₂

x-4

x+4

≠0
∴当a=2时，函数f（x）的定义域为（-∞，-4）∪（4，+∞），值域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）∵函数f（x）=log_a

x-2a

x+2a

，
∴函数定义域为：（-∞，-2a）和（2a，+∞），
∵函数的定义域为[s，t]，函数的值域为[log_a（t-a），log_a（s-a）]，
∴s≤t，log_a（t-a）≤log_a（s-a），
∴0＜s-a≤t-a，
∴0＜a＜1．
∵函数f（x）=log_a

x-2a

x+2a

=loga(1-

4a

x+2a

)，
由内函数u=1-

4a

x+2a

和外函数y=log_au构成的复合函数．
又∵内函数u=1-

4a

x+2a

的减区间为（-∞，-2a）和（2a，+∞），
外函数y=log_au在（0，+∞）单调递增，
∴函数f（x）=log_a

x-2a

x+2a

的减区间为（-∞，-2a）和（2a，+∞）．
∵t＞a，t＞a，
∴s≥t＞2a，
∴f（t）≤f（x）≤f（s），
∴f（t）=log_a（t-a），
f（s）=log_a（s-a），
∴

t-2a

t+2a

=t-a，

s-2a

s+2a

=s-a，
∴s、t是方程x²+（a-1）x-2a²+2a=0的两个根，
∴方程x²+（a-1）x-2a²+2a=0有两个大于2a的实数根，
记g（x）=x²+（a-1）x-2a²+2a，
则

- a-1 2 ＞2a f( 1-a 2 )≤0 f(2a)＞0

，
∴

a＜ 1 5 a≤ 1 9 或a≥1 a2＞0

，
∴0＜a≤

1

9

．
∴实数a的取值范围是（0，

1

9

]．

点评：本题考查了函数的定义域、单调性、复合函数的单调性、一元二次方程的根，本题思维难度较大，计算量也不小，属于中高档题题．