Question

10．已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列{a_n}的前10项和，则数列{a_n}的一个通项公式a_n=$\frac{1}{2n}$，数列{a_n•a_n+1}的前2016项和为$\frac{504}{2017}$．

Answer 1

分析 执行程序框图，写出每次循环得到的S，n，k的值，观察数列{a_n}的前n项和的变化规律，即可求解．利用裂项法即可求和．

解答 解：执行程序框图，有
S=0．n=2，k=1
不满足k≤10第1次执行循环体，S=$\frac{1}{2}$，n=4，k=2
不满足k≤10第2次执行循环体，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$，n=6，k=3
不满足k≤10第3次执行循环体，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$，n=8，k=4
不满足k≤10第3次执行循环体，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{8}$，n=10，k=5
…
综上可知，程序框图的功能是求一个数列{a_n}的前10项和，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{20}$
故数列{a_n}的一个通项公式a_n=$\frac{1}{2n}$．
则a_n•a_n+1=$\frac{1}{2n}•\frac{1}{2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则数列{a_n•a_n+1}的前2016项和S=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{1}{4}×\frac{2016}{2017}$=$\frac{504}{2017}$
故答案为：$\frac{1}{2n}$，$\frac{504}{2017}$．

点评 本题主要考察了程序框图和算法，数列通项公式和和的求法，根据程序框图求出通项公式以及利用裂项法进行求和是解决本题的关键．