Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在棱AB上．
（Ⅰ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）当$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．证明 DE∥AC₁．利用直线与平面平行的判定定理证明 AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．求出相关点的坐标，平面BCD的法向量，平面B₁ CD的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 证明：连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．
因为 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，
所以 侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，所以 DE∥AC₁．
因为 DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，所以 AC₁∥平面B₁CD．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B （3，0，0），A （0，4，0），A₁ （0，4，4），B₁ （3，0，4）．设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因为 点D在线段AB上，且$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$．

所以a=2，$b=\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{BD}\;=（-1，\frac{4}{3}，0）$，$\overrightarrow{C{B_1}}=（3，0，4）$，$\overrightarrow{CD}=（2，\frac{4}{3}，0）$．
平面BCD的法向量为$\overrightarrow{{n_{\;1}}}=（0，0，1）$．设平面B₁ CD的法向量为$\overrightarrow{{n_{\;2}}}=（x，y，1）$，
由$\overrightarrow{C{B_1}}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}=0$，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}=0$，得 $\left\{\begin{array}{l}3x+4=0\\ 2x+\frac{4}{3}y=0\end{array}\right.$，
所以 $x=-\frac{4}{3}$，y=2，$\overrightarrow{{n_{\;2}}}=（-\frac{4}{3}，2，1）$．所以  $cosθ=\frac{{\overrightarrow{{n_{\;1}}}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}}}{{|{\overrightarrow{{n_{\;1}}}}||{\overrightarrow{{n_{\;2}}}}|}}=\frac{3}{{\sqrt{61}}}$．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值为$\frac{{3\sqrt{61}}}{61}$．…（12分）

点评 本题考查空间向量求解二面角的余弦函数值，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．