Question

已知函数f（x）=x²-2alnx（a∈R且a≠0）
（1）当实数a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）a=1时，f（x）=x²-2lnx，得f′（x）=2x-

2

x

，从而f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）先求出f′（x）=2x-

2a

x

，再分别讨论①a＜0时，②a＞0时的情况，从而求出函数在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-

2

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）∵f′（x）=2x-

2a

x

，
①a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]递增，
∴f（x）在[1，2]上的最小值为：f（1）=1，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a

，
∴f（x）在（0，

a

）递减，在（

a

，+∞）递增，
当

a

≤1时，f（x）在[1，2]上的最小值为：f（1）=1，
当

a

＞1时，f（x）在[1，2]上的最小值为：f（

a

）=a-alna．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．