Question

已知函数f（x）=

1

x

+ax+2lnx，其中a为实数；
（1）若a=-2，求函数y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）a=-2时，f（x）=

1

x

-2x+2lnx，得f′（x）=-

1

x2

-2+

2

x

，而k=f′（1）=-1，f（1）=-1，从而切线方程为：x+y=0；
（2）f′（x）=

ax2+2x-1

x2

，（x＞0），令g（x）=ax²+2x-1，分别讨论①a＞0时，②a=0时，③-1≤a＜0时，④a＜-1时的情况，从而求出f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）a=-2时，f（x）=

1

x

-2x+2lnx，
∴f′（x）=-

1

x2

-2+

2

x

，
∴k=f′（1）=-1，f（1）=-1，
∴切线方程为：x+y=0；
（2）f′（x）=

ax2+2x-1

x2

，（x＞0），
令g（x）=ax²+2x-1，
①a＞0时，△=4+4a＞0，
∴x₁=

-1+ 1+a

a

，x₂=

-1- 1+a

a

（舍），
∴f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）递减，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）递增，
②a=0时，令g（x）＞0，解得：x＞

1

2

，令g（x）＜0，解得：0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增，
③a＜0时，
△=4+4a≥0，即-1≤a＜0时，
令g（x）＞0，解得：0＜x＜

-1+ 1+a

a

，
令g（x）＜0，解得：x＞

-1+ 1+a

a

，
∴f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）递增，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）递减，
△=4+4a＜0，即a＜-1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
综上：①a＞0时f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）递减，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）递增，
②a=0时，f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增，
③-1≤a＜0时，f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）递增，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）递减，
④a＜-1时，f（x）在（0，+∞）递减．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．