Question

对任意x∈R，函数f（x）满足f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，设a_n=[f（n）]²-2f（n），数列{a_n}的前2013项和为-1003，则f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1可变形为[f（x+1）]²-2f（x+1）+1=2f（x）-[f（x）]²，从而a_n+1+a_n=-1，再由数列{a_n}的前2013项和为-1003可求a₂₀₁₃=3，则[f（2013）]²-2f（2013）=3，
由此可求答案，注意判断f（2013）的范围．

解答： 解：∵f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，
∴f（x+1）-1=

2f(x)-[f(x)]2

，
两边平方得：[f（x+1）-1]²=2f（x）-f（x）²
⇒[f（x+1）]²-2f（x+1）+1=2f（x）-[f（x）]²，
即a_n+1+a_n=-1，即数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-1，
则S₂₀₁₃=1006×（-1）+a₂₀₁₃=-1003⇒a₂₀₁₃=3，
∴[f（2013）]²-2f（2013）=3，
解得f（2013）=3或-1，
又由f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，可得f（x+1）≥1，
可得f（2013）=3．
故答案为：3．

点评：该题为数列与函数的综合题，利用函数的性质推得数列递推式是解决该题的关键，本题容易忽略对f（2013）范围的判断．