Question

如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为a_n，则

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2013a2014

=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：

分析：根据题意，可得a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a_n=3（n-1）（n≥2）；所以

1

anan+1

=

1

3(n-1)•3n

=

1

9

（

1

n-1

-

1

n

），据此解答即可．

解答： 解：根据分析，可得
a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），
数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a_n=3（n-1）（n≥2）；
所以

1

anan+1

=

1

3(n-1)•3n

=

1

9

（

1

n-1

-

1

n

）
则

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2013a2014

=9×

1

9

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

）
=1-

1

2013

=

2012

2013

故答案为：

2012

2013

．

点评：本题主要考查了图形的变化类，解答此题的关键是根据已知的图形中点数的变化推得a_n=3（n-1）（n≥2）．