Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（-1）=2，则f（2013）等于

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得y=f（x）关于x=0对称，即为偶函数，根据已知条件赋值可求f（2）=f（-2）=0，可得函数是以4为周期的周期函数，再由f（-1）=2，求f（2013）的值．

解答： 解：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴由函数的图象的平移可知函数y=f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数，
∵?x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2可得，f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（-2）=-f（2）=f（2），∴f（2）=f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，由图象判断函数的奇偶性，考查函数的周期的求解是求解本题的关键．