Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C=4，
（Ⅰ）求证：平面A′DE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：BF∥平面A′DE。

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻转而成， 所以△A′DE≌△ADE， ∵∠ABC=120°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=60°， 又∵AD=AE=2， ∴△A′DE和△ADE都是等边三角形， ∵M是DE的中点， ∴A′M⊥DE，A′M， 由∵在△DMC中，MC2=42+12-2×4×1·cos60°， ∴， 在△A′MC中，A′M2+MC2=， ∴△A′MC是直角三角形， ∴A′M⊥MC， 又∵A′M⊥DE，MC∩DE=M， ∴A′M⊥平面ABCD， 又∵A′M平面A′DE， ∴平面A′DE⊥平面BCD； （Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB， ∵A′C= DC=4，F，N点分别是A′C，DC中点， ∴FN∥A′D， 又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的DC，AB的中点， ∴BN∥DE， 又∵A′D∩DE=D，FN∩NB=N， ∴平面A′DE∥平面FNB， ∵FB平面FNB， ∴FB∥平面A′DE。