Question

（本小题14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。

Answer 1

（I）；（Ⅱ）时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上存在2个不同的点，使得的面积为

试题分析：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(，k)．由题设条件可以求出N(，-)，所以|MN|得到表示，再由均值不等式进行求解
（3）在第二问的基础上确定了直线BS的斜率得到直线方程，利用点到直线的距离得到l‘,然后得到分析方程组的解的个数即为满足题意的点的个数。
解：（I）；故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，
从而即又
由得
故 
又
当且仅当，即时等号成立。
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线
则由解得或
当时， 得，，故有2个不同的交点；
当时，得，，故没有交点；
综上：当线段MN的长度最小时，在椭圆上存在2个不同的点，使得的面积为
点评：解决该试题的关键是能利用椭圆的几何性质表述出|MN|，同时结合均值不等式求解最小值。