Question

已知函数f(x)=lg(ax²+2x+1)，

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围.

Answer 1

解:(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax²+2x+1＞0的解集为R，

即解得a＞1.

(2)若f(x)的值域为R，则ax²+2x+1能取一切正数.

∴a=0或解得0≤a≤1.

点评:(1)f(x)的定义域是R，求得a＞1，即a＞1时，保证f(x)的定义域是R，但此时由于ax²+2x+1=a(x+)²+1－≥1－，

∴f(x)的值域是［lg(1－)，+∞)，不要误认为值域也是R.

(2)f(x)的值域是R，意思是要求其真数ax²+2x+1的值必须取到(0，+∞)内的每一个值，这就要求u=ax²+2x+1的最小值1－不能比零大，否则u就取不到(0，1－)内的值.故需a=0或即0≤a≤1.这时若a=0，则f(x)的定义域为(－，+∞)；若0＜a≤1，则f(x)的定义域为(－∞，x₁)∪(x₂，

+∞)，其中x₁、x₂为方程ax²+2x+1=0的两根.不要误认为f(x)的定义域是R.