Question

已知函数f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．
（1）求a的值；
（2）证明：若x∈(0，

1

2

)，则f(x)＞

3

2

-x．

Answer 1

分析：（1）因为当x=1时，函数y=f（x）取得极小值，所以f′（1）=0，从而求出a值，再验证x=1是否极值点即可．
（2）当x∈(0，

1

2

)时，f(x)＞

3

2

-x?f（x）+x＞

3

2

?[f(x)+x]min＞

3

2

，利用导数求出f（x）+x的最小值即可．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，
∴f′（1）=0，得a=1．
当a=1时，在（0，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．
故a=1．
（2）证明：f（x）＞

3

2

-x等价于：f（x）+x＞

3

2

．
令g（x）=f（x）+x，则g′(x)=

x-1

x2

+1=

x2+x-1

x2

，
令h（x）=x²+x-1，
∵h（0）=-1＜0，h（

1

2

）=-

1

4

＜0，
∴x∈(0，

1

2

)时，h（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，

1

2

）上单调递减．
∴g（x）＞g(

1

2

)，即g（x）＞2-ln2+

1

2

=

3

2

+(1-ln2)＞

3

2

，
∴f（x）+x＞

3

2

，
故f（x）＞

3

2

-x．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值及极值概念，注意转化思想在本题中的运用．