Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。

（1）证明：AP⊥BC；
（2）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。求二面角B-AP-C的大小。

Answer 1

解：（1）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC
又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC
因为PO∩AD=O，
所以BC⊥平面PAD
故BC⊥PA；

（2）如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连CM
因为BC⊥PA，得AP⊥平面BMC
所以AP⊥CM
故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角
在Rt△ADB中，AB²=AD²+BD²=41，得AB=
在Rt△POD中，PD²=PO²+OD²
在Rt△PDB中，PB²=PD²+BD²
所以PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6
在Rt△POB中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5
又
从而
所以
同理CM
因为BM²+MC²=BC²
所以=90°
即二面角B-AP-C的大小为90°。