Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB，EF⊥平面PBC；
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为

π

4

，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求BO、PB长及二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BP的中点M，FM∥BC，且FM∥PE，从而四边形AMFE是平行四边形，由此能证明EF∥平面PAB；由PA=AB，得AM⊥PB，EF⊥PB，由线面垂直得BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明EF⊥平面PBC．
（2）作PO⊥AB=O，则PO⊥平面ABCD，连结OC，BC中点G，连EG、FG，由已知得∠FGE即为所求二面角的平面角，由此能求出BO、PB长及二面角P-BC-E的余弦值．

解答： （1）证明：取BP的中点M，FM∥BC，且FM∥PE，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM∥EF，又EF在平面PAB外，EF∥平面PAB，
由PA=AB，得AM⊥PB，EF⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM，∴BC⊥EF，
∴EF⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB=O，则PO⊥平面ABCD，
连结OC，则∠PCO=

π

4

，
∴PO=OC，设AO=x，则

9-x2

=

4+(3-x)2

，
得到x=2，
则BC中点G，连EG、FG，则由（1）知BC⊥平面EFG，
∠FGE即为所求二面角的平面角，
在△PAB中，PB=

6

，PA=AB=3，
∴cos∠FGE=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．