Question

18．设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足4S_n=（1+a_n）²（n=1，2，…），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由4S_n=（1+a_n）²，得4S_n-1=（1+a_n-1）²，两式相减得到a_n-a_n-1=2，由此能求出{a_n}的通项公式．

解答 解：∵S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足4S_n=（1+a_n）²（n=1，2，…），
∴4S_n=（1+a_n）²，①
4S_n-1=（1+a_n-1）²，n≥2，②
①-②，得：4a_n=${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$，n≥2
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，n≥2，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
当n=1时，$4{S}_{1}=4{a}_{1}=（1+{a}_{1}）^{2}$，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．