Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）证明f^-1（x）的图象关于原点成中心对称．

Answer 1

分析 （1）利用反函数的定义得出即a^x=y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$，两边取对数即可．
（2）根据f^-1（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），利用奇函数的定义判断即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
∴y=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
即a^x=y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$，
x=log_a（y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$），
∴f（x）的反函数f^-1（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（2）定义域为；（-∞，+∞），关于原点对称．
f^-1（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log_a$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=-f^-1（x）
∴f^-1（x）为奇函数
∴f^-1（x）的图象关于原点成中心对称；

点评 本题考查了反函数的定义，奇函数的对称问题，属于容易题，关键是确定解析式，定义域．．