Question

14．一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设白球的个数为x，则红球和黑球的个数为10-x，记两个都不是白球的事件为A，
则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此求出白球的个数；
得出ξ的取值可能为0，1，2，3，求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：设白球的个数为x，则黑球和红球的个数为10-x；
记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；
所以p（A）=1-$\frac{7}{9}$=$\frac{2}{9}$=$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，解得x=5，
所以白球的个数为5；
从袋中任意摸出3个球，到白球的个数ξ的取值可能为：0，1，2，3；
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{•C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{•C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

ξ所以的数学期望Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．