Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判断f（x）的单调性
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂代入可得f（1）=0
（2）设x₁＞x₂＞0   则

x1

x2

＞1，f(

x1

x2

)＜0，代入即可得证．
（3）先根据f（3）=-1将2化为f（

1

9

），进而由函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）令x₁=x₂得f（1）=0
（2）设x₁＞x₂＞0   则

x1

x2

＞1，f(

x1

x2

)＜0∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0
所以f（x）在（0，+∞）为减函数；
（3）∵f（1）=0，f（3）=-1∴f(3)=f(

1

1 3

)=f(1)-f(

1

3

)
∴f(

1

3

)=f(1)-f(3)=1，f(

1

9

)=f(

1

3

)-f(3)=2
∴f(|x|)＜2?f(|x|)＜f(

1

9

)?|x|＞

1

9

所以原不等式的解集为{x|x＜-

1

9

，或x＞

1

9

}．

点评：本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题．根据函数单调性解不等式是考查的重点．